Trong thế giới xác suất, một Biến ngẫu nhiên không phải là một ký hiệu thay thế cho một số chưa biết như trong đại số. Thay vào đó, hãy nghĩ đến nó như một bộ dịch chính thức. Nó là một hàm thực giá trị $X: S \rightarrow \mathbb{R}$ ánh xạ mỗi kết quả định tính của một thí nghiệm (ví dụ: "rút ra một quả bóng trắng") thành một giá trị số lượng cụ thể (ví dụ: "-1 đô la").
Lôgic của Ánh xạ
Bằng cách sử dụng các biến ngẫu nhiên, chúng ta ngừng nói về các tập hợp các kết quả trừu tượng và bắt đầu nói về các sự kiện dưới dạng số. Ví dụ, nếu chúng ta tung đồng xu ba lần, thay vì xem xét tập hợp $\{HHT, HTH, THH\}$, ta định nghĩa $X$ là "số mặt ngửa" và đơn giản phân tích sự kiện $X=2$.
Một biến ngẫu nhiên là rời rạc nếu miền giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được (giống như các số nguyên). Đây là một sự phân biệt quan trọng vì nó cho phép chúng ta sử dụng tổng ($∑$) thay vì tích phân để tìm xác suất tổng cộng.
Hàm khối xác suất (PMF)
Hàm khối xác suất (PMF), ký hiệu $p(a)$, ghi lại xác suất mà một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận một giá trị cụ thể $a$. Nó phải thỏa mãn hai tiên đề không thể thương lượng:
- $p(x_i) \geq 0$ (Không có xác suất âm).
- $\sum_{i=1}^{\infty} p(x_i) = 1$ (Tổng khối xác suất phải bao gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra).
Ví dụ minh họa: Bài toán hộp cầu kỳ
Xét một hộp chứa 8 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen và 2 quả cầu cam. Chúng ta rút một quả cầu và định nghĩa $X$ là phần tiền thắng/thua của mình: ta thắng 2 đô la nếu rút được cầu đen, nhưng mất 1 đô la nếu rút được cầu trắng. Hàm khối xác suất chuyển đổi hành động "rút một quả cầu" thành một phân bố tài chính, cho phép ta tính xác suất rơi vào cảnh phá sản so với hòa vốn.
Nếu $p(i) = c\lambda^i/i!$ với $i=0, 1, 2, \dots$, ta trước tiên tìm $c$ bằng cách đảm bảo tổng bằng 1. Sử dụng chuỗi Taylor của $e^\lambda$, ta tìm được $c = e^{-\lambda}$. Sau đó, $P\{X=0\} = e^{-\lambda}$ và $P\{X>2\} = 1 - e^{-\lambda}(1 + \lambda + \lambda^2/2)$.